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Les fractales du Forex - ce que vous devez savoir

Il est peu probable que vous trouviez au moins un nouveau venu sur le marché Forex qui ne saurait pas ce qu’est une fractale. Et beaucoup de gens ont entendu parler d'un tel concept en dehors du marché. Les fractales sont connues depuis presque un siècle, sont bien étudiées et ont de nombreuses applications dans la vie. La base de ce phénomène est une idée très simple: un nombre infini de figures de beauté et de variété peuvent être obtenues à partir de structures relativement simples en deux opérations seulement: la copie et la mise à l'échelle.

Qu'est-ce qu'une fractale?

Le concept de "fractale" n'a pas de définition stricte. Par conséquent, ce mot n'est pas un terme mathématique. Ceci est généralement appelé une figure géométrique qui vérifie une ou plusieurs des propriétés suivantes:

- a une structure complexe à n'importe quel grossissement;

- est (approximativement) semblable à soi-même;

- a une dimension fractionnaire de Hausdorff (supérieure à la topologie);

- peut être construit par des procédures récursives.

Histoire d'occurrence

Au tournant des XIXe et XXe siècles, l’étude des fractales était plus épisodique que systématique. Auparavant, les mathématiciens étudiaient principalement des objets pouvant être étudiés à l'aide de méthodes et de théories générales.

En 1872, le mathématicien allemand Karl Weierstrass construisit un exemple de fonction continue nulle part différentiable. Cependant, sa construction était entièrement abstraite et difficile à percevoir. Par conséquent, en 1904, le Suédois Helge von Koch a inventé une courbe continue qui n’a aucune tangente, et elle est assez simple à dessiner. Il s'est avéré qu'il a les propriétés d'une fractale. Une variante de cette courbe s'appelle le flocon de neige de Koch.

Le Français Paul Pierre Levy, futur mentor de Benoît Mandelbrot, a repris les idées sur l’auto-similarité. En 1938, son article "Courbes et surfaces plates et spatiales et surfaces composées de parties semblables à l'ensemble" a été publié, dans lequel une autre fractale est décrite - la courbe en C de Levy. Toutes ces fractales énumérées ci-dessus peuvent être affectées de manière conditionnelle à une classe de fractales constructives (géométriques).

Une autre classe est celle des fractales dynamiques ou algébriques, qui incluent l'ensemble de Mandelbrot. Les premières études dans ce sens remontent au début du 20ème siècle et sont associées aux noms des mathématiciens français Gaston Julia et Pierre Fatou. En 1918, Julia publia près de deux cents pages d'ouvrages consacrés aux itérations de fonctions rationnelles complexes, dans lesquelles les ensembles de Julia sont décrits - toute une famille de fractales étroitement apparentés à l'ensemble de Mandelbrot. Cette œuvre a reçu le prix de l'Académie française, mais elle ne contenait aucune illustration. Il était donc impossible d'apprécier la beauté des objets ouverts. Malgré le fait que cette œuvre glorifiait Julia parmi les mathématiciens de l'époque, ils l'oublièrent rapidement.

Une fois de plus, l'attention ne fut portée sur le travail de Julia et de Fatou qu'un demi-siècle plus tard, avec l'avènement des ordinateurs: ce sont eux qui ont rendu visibles la richesse et la beauté du monde fractal. Après tout, Fatou n'a jamais pu regarder les images que nous connaissons maintenant sous le nom d'images de l'ensemble de Mandelbrot, car le nombre nécessaire de calculs ne peut pas être effectué manuellement. Benoit Mandelbrot fut le premier à utiliser un ordinateur à cette fin.

En 1982, l'ouvrage de Mandelbrot intitulé Fractal Geometry of Nature (Nature de la fractale de la nature) recueille et systématise la quasi-totalité des informations sur les fractales disponibles à cette époque et les expose de manière simple et accessible. Mandelbrot a mis l'accent dans sa présentation non pas sur les formules lourdes et les constructions mathématiques, mais sur l'intuition géométrique des lecteurs.

Grâce aux illustrations générées par ordinateur et aux récits historiques, avec lesquels l'auteur a habilement dilué la composante scientifique de la monographie, le livre est devenu un best-seller et les fractales ont été connues du grand public. Leur succès auprès des non-mathématiciens est en grande partie dû au fait qu’avec des constructions et des formules très simples qu’un élève du secondaire peut comprendre, des images d’une complexité et d’une beauté étonnantes sont obtenues.

Lorsque les ordinateurs personnels sont devenus assez puissants, même toute une tendance artistique est apparue - la peinture fractale, et presque tous les propriétaires d’ordinateur pouvaient le faire. Maintenant, sur Internet, vous pouvez facilement trouver de nombreux sites dédiés à ce sujet.

Après cette brève digression dans l’histoire, familiarisons-nous maintenant avec la classification des types fractals.

Fractales géométriques

Comme vous l'avez déjà compris, c'est avec eux que l'histoire des fractales a commencé. Ce type de fractale est obtenu par des constructions géométriques simples. Tout d'abord, la base est représentée. Ensuite, certaines parties de la base sont remplacées par un fragment. À chaque étape suivante, des parties de la figure déjà construite, similaires aux parties remplacées de la base, sont à nouveau remplacées par un fragment pris à une échelle appropriée. Chaque fois que l'échelle diminue. Lorsque les changements deviennent imperceptibles visuellement, ils pensent que la figure construite se rapproche de la fractale et donne une idée de sa forme. Pour obtenir la fractale elle-même, vous avez besoin d'un nombre infini d'étapes. Changer la base et le fragment - vous pouvez obtenir de nombreuses fractales géométriques différentes.

Les fractales géométriques sont bonnes en ce sens qu’elles font l’objet d’études scientifiques suffisantes et que, d’une part, elles sont visibles. Même une personne éloignée des mathématiques y trouvera son compte. Une telle combinaison est rare dans les mathématiques modernes, où tous les objets sont définis en utilisant des mots et des symboles obscurs.

De nombreuses fractales géométriques peuvent être dessinées littéralement sur un morceau de papier dans une cage. Il est important de comprendre que toutes les images obtenues ne sont que des approximations finies d'infinies, intrinsèquement fractales. Mais vous pouvez toujours faire une approximation telle que l'œil ne puisse pas distinguer entre de très petits détails et que notre imagination sera en mesure de créer une vraie image fractale.

Par exemple, avec une feuille de papier graphique suffisamment grande et une réserve de temps libre, vous pouvez tracer manuellement une approximation aussi exacte du tapis de Sierpinski de telle sorte qu’à une distance de plusieurs mètres, l’œil nu le percevra comme une véritable fractale. L'ordinateur permettra d'économiser du temps et du papier tout en augmentant la précision du dessin.

Flocon de neige Koch

C'est l'une des premières fractales étudiées par les scientifiques. Le flocon de neige est obtenu à partir de trois exemplaires de la courbe de Koch, parue dans un article du mathématicien suédois Helge von Koch en 1904. Cette courbe a été inventée à titre d'exemple de ligne continue, sur laquelle il est impossible de tracer une tangente en un point quelconque. Les lignes avec cette propriété étaient connues auparavant, mais la courbe de Koch est remarquable par la simplicité de sa conception.

La courbe de Koch est continue, mais nulle part différentiable. Grosso modo, c’est précisément pour cela qu’il a été inventé - en tant qu’exemple de tels "monstres" mathématiques.

La courbe de Koch a une longueur infinie. Soit 1 la longueur du segment initial. À chaque étape de la construction, nous remplaçons chacun des composants de la ligne de segments par une polyligne 4/3 fois plus longue. Cela signifie que la longueur de la polyligne entière à chaque étape est multipliée par 4/3: la longueur de la ligne de nombre n est égale à (4/3) n-1. Par conséquent, il ne reste plus que la ligne limite, sauf pour être infiniment long.

Le flocon de neige de Koch limite la zone finale. Et ceci malgré le fait que son périmètre est sans fin. Cette propriété peut sembler paradoxale, mais elle est évidente - le flocon de neige est complètement placé dans un cercle, donc sa superficie est délibérément limitée. Vous pouvez calculer l’aire, et vous n’avez même pas besoin de connaissances particulières pour cela - les formules de l’aire du triangle et la somme de la progression géométrique sont conservées à l’école.

Flocon de neige Koch "vice versa"

Le flocon de Koch "vice versa" est obtenu en construisant les courbes de Koch à l'intérieur du triangle équilatéral d'origine.

Lignes de cesaro

Au lieu des triangles équilatéraux, on utilise des triangles isocèles avec un angle à la base de 60 ° à 90 °. Dans la figure ci-dessous, l'angle est de 88 °.

Option carrée

Ici, les carrés sont en cours d'achèvement.

Pyramide de Koch

T-carré

La construction commence par une unité carrée. Première étape: peignez en blanc un carré de 1/2 côté au centre. Ensuite, vous devez diviser mentalement le carré en 4 identiques et remplir chaque carré au centre avec 1/4 de côté. En outre, chacun de ces 4 carrés est à nouveau divisé en 4 parties, un total de 16 carrés sera obtenu et vous devrez faire de même pour chacune d’elles. Et ainsi de suite.

La dimension fractale est ombrée en blanc et égale à log24 = 2. Elle est partout dense dans le carré d'origine. Cela signifie que quel que soit le point de la place que nous prenons, il y a des points ombrés dans l'un de ses quartiers arbitrairement petits. En fin de compte, presque tout est devenu blanc - la zone du reste est 0 et la fractale occupe une zone de 1. Mais la longueur du bord de la partie remplie est infinie.

H fractale

Tout commence par une figure sous la forme de la lettre H, dans laquelle les segments verticaux et horizontaux sont égaux. Ensuite, à chacune des 4 extrémités de la figure, une copie en est réduite, divisée par deux. Une copie de la lettre H est réduite à chaque extrémité (il y en a déjà 16), déjà réduite de 4 fois. Et ainsi de suite. À la limite, vous obtenez une fractale qui remplit presque visuellement un certain carré. H-fractale est partout dense. C'est-à-dire que dans n'importe quel voisinage de n'importe quel point de la place il y a des points fractals Très similaire à ce qui se passe avec le T-carré. Ce n’est pas accidentel, car si vous regardez de plus près, il est clair que chaque lettre H est contenue dans son propre petit carré, qui a été complété à la même étape.

Nous pouvons dire (et prouver) que la fractale-H remplit son carré (courbe anglaise remplissant l'espace). Par conséquent, sa dimension fractale est 2. La longueur totale de tous les segments est infinie.

Le principe de la construction d'une H-fractale est utilisé dans la production de microcircuits électroniques: s'il est nécessaire que dans un circuit complexe, un grand nombre d'éléments reçoivent le même signal en même temps, ils peuvent être situés aux extrémités des segments d'une itération appropriée de la H-fractale et connectés en conséquence.

Arbre de Mandelbrot

L’arbre de Mandelbrot est obtenu si vous dessinez des lettres épaisses H, composées de rectangles et non de segments:

Arbre de pythagore

On l'appelle ainsi parce que chaque triple de carrés qui se touchent par paires délimite un triangle rectangle et nous obtenons une image qui est souvent illustrée par le théorème de Pythagore: "Les pantalons de Pythagore sont égaux dans toutes les directions".

On voit clairement que tout l'arbre est limité. Si le plus grand carré est simple, alors l’arbre tiendra dans un rectangle 6 × 4. Par conséquent, sa superficie n’excède pas 24. Cependant, deux fois plus de triples de carrés sont ajoutés à chaque fois que le précédent et leurs dimensions linéaires sont √2. fois moins. Par conséquent, à chaque étape, la même surface est ajoutée, ce qui correspond à la surface de la configuration initiale, c'est-à-dire 2. Il semblerait alors que la surface de l'arbre devrait être infinie! Mais, en fait, il n’ya pas de contradiction ici, car très vite les carrés commencent à se chevaucher et la surface ne s’agrandit pas aussi vite. C'est toujours fini, mais apparemment le sens exact est encore inconnu, et c'est un problème ouvert.

Si vous modifiez les angles à la base du triangle, vous obtenez une forme légèrement différente de l’arbre. Et à un angle de 60 °, les trois carrés seront égaux et l'arbre se transformera en un motif périodique sur le plan:

Vous pouvez même remplacer des carrés par des rectangles. Ensuite, l'arbre sera plus comme de vrais arbres. Et avec certains traitements artistiques, des images très réalistes sont obtenues.

Courbe de Peano

Pour la première fois, un tel objet est apparu dans un article du mathématicien italien Giuseppe Peano en 1890. Peano a essayé de trouver au moins une explication assez vive du fait que le segment et le carré ont une puissance égale (si on les considère comme des ensembles de points), c’est-à-dire qu’ils ont le même nombre de points. George Cantor avait déjà prouvé ce théorème dans le cadre de la théorie des ensembles qu'il avait inventée. Cependant, de tels résultats d'intuition contradictoires ont suscité un grand scepticisme par rapport à la nouvelle théorie. L’exemple de Peano - l’établissement d’une cartographie continue d’un segment de ligne à un carré - confirmait bien l’exactitude de Cantor.

Curieusement, l'article de Peano n'avait pas une seule illustration. Parfois, l'expression "courbe de Peano" n'est pas attribuée à un exemple spécifique, mais à toute courbe remplissant une partie d'un plan ou d'un espace.

Courbe de Hilbert

Cette courbe (courbe de Hilbert) a été décrite par David Hilbert en 1891. Nous ne pouvons voir que des approximations finies de l'objet mathématique visé - il ne se produira dans la limite qu'après un nombre infini d'opérations.

Fractale "Croix Grecque"

Un autre exemple intéressant est la fractale de la croix grecque.

Courbe de Gosper

La courbe de Gosper, ou le flocon de neige Gosper, est une autre variation des lignes courbes.

Levy Curve

Bien que l'objet ait été étudié par l'Italien Ernesto Cesaro en 1906, son auto-similitude et ses propriétés fractales ont été étudiées dans les années 1930 par le français Paul Pierre Levy. La dimension fractale de la limite de cette fractale est approximativement égale à 1,9340. Mais ceci est un résultat mathématique plutôt compliqué et la valeur exacte est inconnue.

Pour sa ressemblance avec la lettre "C", écrite dans une police ornée, elle est aussi appelée courbe en Levy. Si vous regardez de plus près, vous pouvez voir que la courbe de Levy est similaire à la forme de la cime de l'arbre de Pythagore.

Hilbert cube

Et il existe également des analogues tridimensionnels de ces lignes. Par exemple, une courbe de Hilbert tridimensionnelle ou un cube de Hilbert.

Une élégante version en métal de la courbe tridimensionnelle de Hilbert (troisième itération), créée par Carlo Secin, professeur d’informatique à l’Université de Californie à Berkeley.

Triangle de Sierpinski

Cette fractale a été décrite en 1915 par le mathématicien polonais Vaclav Sierpinski. Pour l'obtenir, vous devez prendre un triangle équilatéral avec l'intérieur, tracer les lignes du milieu et jeter le centre des quatre petits triangles formés. De plus, ces mêmes étapes doivent être répétées avec chacun des trois triangles restants, etc. La figure montre les trois premières étapes et, dans une démonstration flash, vous pouvez vous entraîner et aller jusqu'au dixième.

Éjecter les triangles centraux n’est pas le seul moyen d’obtenir le triangle de Sierpinski. Vous pouvez vous déplacer "dans le sens opposé": prenez le triangle initialement "vide", puis complétez le triangle formé par les lignes du milieu, puis faites de même dans chacun des trois triangles de coin, etc. Au début, les chiffres seront très différents, mais avec la croissance du nombre d'itérations, ils se ressembleront de plus en plus et coïncideront à la limite.

La manière suivante d'obtenir le triangle de Sierpinski est encore plus similaire au schéma habituel de construction de fractales géométriques en remplaçant des parties de la prochaine itération par un fragment mis à l'échelle. Ici, à chaque étape, les segments qui constituent la ligne brisée sont remplacés par une ligne brisée de trois liens (elle est obtenue dans la première itération elle-même). Pour reporter cette ligne brisée, vous devez alternativement tourner à droite et à gauche. On peut voir que la huitième itération est très proche de la fractale et que plus vous avancez, plus la ligne se rapproche de celle-ci.

Tapis (carré, serviette) Sierpinski

Le mathématicien respecté ne s'est pas arrêté aux triangles et en 1916, il a décrit une version carrée. Il a réussi à prouver que toute courbe pouvant être dessinée sur un plan sans auto-intersections est homéomorphe à un sous-ensemble de ce carré troué. Comme un triangle, un carré peut être obtenu à partir de différentes conceptions. La méthode classique est illustrée à droite: diviser le carré en 9 parties et jeter la partie centrale. Ensuite, on répète la même chose pour les 8 carrés restants, etc.

Comme un triangle, un carré a une surface nulle.La dimension fractale du tapis de Sierpinski est log38, elle est calculée de la même façon que la dimension d’un triangle.

Pyramide de Sierpinski

Un des analogues tridimensionnels du triangle de Sierpinski. Il est construit de la même manière, en tenant compte de la tridimensionnalité de ce qui se passe: 5 copies de la pyramide initiale, comprimées deux fois, constituent la première itération, ses 5 copies constituent la seconde itération, etc. La dimension fractale est log25. La figure a un volume nul (à chaque étape, la moitié du volume est éjectée), mais la surface est préservée d'une itération à l'autre et la fractale est identique à la pyramide initiale.

Éponge Menger

Généralisation du tapis de Sierpinski dans un espace tridimensionnel. Pour construire une éponge, il faut une répétition sans fin de la procédure: chacun des cubes constituant l'itération est divisé en 27 cubes trois fois plus petits, à partir desquels le centre et ses 6 voisins sont projetés. Autrement dit, chaque cube en génère 20 nouveaux, trois fois plus petits. Par conséquent, la dimension fractale est log320. Cette fractale est une courbe universelle: toute courbe dans un espace tridimensionnel est homéomorphe à un sous-ensemble de l'éponge. L'éponge a un volume nul (puisqu'elle est multipliée par 20/27 à chaque étape), mais la surface est infiniment grande.

Il y a encore beaucoup de fractales géométriques, et la surface de cette page n'est malheureusement pas infinie. Par conséquent, passons au prochain type de fractales - algébrique.

Fractales dynamiques (algébriques)

Les fractales de ce type apparaissent dans l'étude des systèmes dynamiques non linéaires (d'où son nom). Le comportement d'un tel système peut être décrit par une fonction non linéaire complexe (polynôme) f (z).

Les ensembles de Julia

Prenez un point de départ z0 sur le plan complexe. Considérons maintenant une suite infinie de nombres sur le plan complexe, dont chacun est obtenu à partir du précédent: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), ... zn + 1 = f (zn). En fonction du point de départ z0, une telle séquence peut se comporter différemment: tendre vers l'infini comme n →; converger vers un point final; prendre cycliquement une série de valeurs fixes; des options plus complexes sont possibles.

Ainsi, tout point z du plan complexe a son propre comportement lors des itérations de la fonction f (z) et tout le plan est divisé en parties. De plus, les points situés sur les limites de ces parties ont la propriété suivante: lors d’un déplacement arbitrairement petit, la nature de leur comportement change de façon spectaculaire (ces points sont appelés points de bifurcation). Ainsi, il s'avère que des ensembles de points ayant un type de comportement particulier, ainsi que des ensembles de points de bifurcation ont souvent des propriétés fractales. Ce sont les ensembles de Julia pour la fonction f (z).

Ensemble Mandelbrot

Il est construit un peu différemment. Considérons la fonction fc (z) = z2 + c, où c est un nombre complexe. Nous construisons une séquence de cette fonction avec z0 = 0, selon le paramètre c, celle-ci peut diverger à l'infini ou rester liée. De plus, toutes les valeurs de c pour lesquelles cette séquence est bornée forment précisément l'ensemble de Mandelbrot. Il a été étudié en détail par Mandelbrot lui-même et par d'autres mathématiciens, qui ont découvert de nombreuses propriétés intéressantes de cet ensemble.

On peut constater que les définitions des ensembles de Julia et de Mandelbrot sont similaires. En fait, ces deux ensembles sont étroitement liés. À savoir, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des valeurs du paramètre complexe c pour lequel l'ensemble de Julia fc (z) est connecté (l'ensemble est appelé connecté s'il ne peut pas être divisé en deux parties disjointes, avec quelques conditions supplémentaires).

Halley Fractal

Ces fractales sont obtenues si la formule de Halley est utilisée comme règle pour construire une fractale dynamique afin de rechercher des valeurs approximatives des racines d'une fonction. La formule est plutôt lourde, donc toute personne qui le souhaite peut la voir sur Wikipedia. L'idée de la méthode est presque la même que celle utilisée pour dessiner des fractales dynamiques: nous prenons une valeur initiale (comme d'habitude, nous parlons de valeurs complexes de variables et de fonctions) et nous lui appliquons la formule plusieurs fois, en obtenant une séquence de nombres. Presque toujours, il converge vers l'un des zéros de la fonction (c'est-à-dire la valeur de la variable à laquelle la fonction prend la valeur 0). La méthode de Halley, malgré la lourdeur de la formule, fonctionne plus efficacement que la méthode de Newton: la séquence converge à zéro plus rapidement.

Fractale de Newton

Un autre type de fractales dynamiques sont les fractales de Newton (les piscines). Les formules pour leur construction sont basées sur la méthode de résolution des équations non linéaires, inventée par le grand mathématicien au 17ème siècle. En utilisant la formule générale de la méthode de Newton zn + 1 = zn - f (zn) / f '(zn), n = 0, 1, 2, ... pour résoudre l'équation f (z) = 0 au polynôme zk - a, nous obtenons une séquence de points: zn + 1 = ((k - 1) znk - a) / kznk-1, n = 0, 1, 2, .... En choisissant divers nombres complexes z0 comme approximations initiales, nous obtenons des séquences qui convergent vers les racines de ce polynôme. Comme il a exactement k racines, tout le plan est divisé en k parties - zones d’attraction des racines. Les limites de ces parties ont une structure fractale (notez entre parenthèses que si nous substituons k = 2 dans la dernière formule et prenons z0 = a comme approximation initiale, nous obtenons une formule réellement utilisée pour calculer la racine carrée de a dans les ordinateurs). Notre fractale est obtenue à partir du polynôme f (z) = z3 - 1.

L'utilisation de fractales dans l'industrie et la vie quotidienne

Les scientifiques sont des personnalités très passionnées. Ne leur donnez pas du pain, imaginons des sujets abstraits. Mais nous sommes des gens pratiques et, après avoir lu tout ce qui est écrit ci-dessus, beaucoup ont probablement déjà une question raisonnable: "Et alors?". Alors, qu'est-ce que cette connaissance a apporté au monde?

Tout d'abord, les fractales sont utilisées dans les systèmes informatiques, et de manière très dense. L'utilisation la plus utile des fractales en informatique est la compression de données fractales. Ce type de compression est basé sur le fait que le monde réel est bien décrit par la géométrie fractale. Dans le même temps, les images sont bien mieux compressées que les méthodes classiques (telles que jpeg ou gif). Un autre avantage de la compression fractale est que lorsque l'image est agrandie, il n'y a pas d'effet de pixelisation (augmentation de la taille des points pour obtenir des tailles qui déforment l'image). Avec la compression fractale, après l’agrandissement, l’image est souvent encore meilleure qu’avant.

Deuxièmement, c’est la mécanique des liquides et, par conséquent, l’industrie pétrolière. Le fait est que l’étude de la turbulence dans les écoulements s’ajuste très bien aux fractales. Les écoulements turbulents sont chaotiques et donc difficiles à modéliser avec précision. Et ici, le passage à la représentation fractale aide, ce qui facilite grandement le travail des ingénieurs et des physiciens, leur permettant de mieux comprendre la dynamique de flux complexes. En utilisant des fractales, vous pouvez également simuler les langues de flamme. Les matériaux poreux sont bien représentés sous forme fractale du fait de leur géométrie très complexe. Il est utilisé dans la science pétrolière.

TroisièmementEn rentrant de l’usine dans la soirée, allongé sur votre canapé de combat préféré, vous allumez la télévision, également liée aux fractales. Le fait est que des antennes aux formes fractales sont utilisées pour transmettre des données sur des distances, ce qui réduit considérablement leur taille et leur poids.

L'utilisation de la géométrie fractale dans la conception des dispositifs d'antenne a été appliquée pour la première fois par l'ingénieur américain Nathan Cohen, qui vivait ensuite dans le centre de Boston, où l'installation d'antennes externes sur des bâtiments était interdite. Cohen a découpé une forme de courbe de Koch dans une feuille d’aluminium, puis l’a collée sur un morceau de papier et l’a ensuite fixée au récepteur. Il s'est avéré qu'une telle antenne ne fonctionne pas plus mal que d'habitude. Bien que les principes physiques d'une telle antenne n'aient pas encore été étudiés, cela n'a pas empêché Cohen de créer sa propre société et d'organiser leur production en série. Actuellement, la société américaine Fractal Antenna System a mis au point un nouveau type d’antenne. Désormais, vous pouvez refuser l’utilisation d’antennes externes saillantes dans les téléphones mobiles - l’antenne dite fractale est située directement sur la carte principale à l’intérieur de l’appareil.

De plus, les fractales sont utilisées pour décrire la courbure des surfaces. Une surface rugueuse est caractérisée par une combinaison de deux fractales différentes. Ils sont également utilisés dans le développement d'interactions de biocapteurs, d'études sur le rythme cardiaque, la modélisation de processus chaotiques, en particulier lors de la description de modèles de population animale, etc.

Structure du marché fractal

Toute cette ode aux fractales serait vaine si ce n’était la nature fractale des marchés financiers. Oui, nous avons enfin abordé la question à propos de laquelle j'ai écrit cet article.

Ainsi, à l’heure actuelle, il existe de nombreuses façons d’analyser les marchés financiers à partir desquelles les traders créent leurs stratégies de trading. Parmi les divers outils d'analyse et de prévision, l'analyse fractale est en marge. Il s’agit d’une théorie distincte, intéressante et polyvalente, à discuter et à étudier. La première impression parle de la simplicité du sujet, mais creuser plus profondément et vous verrez beaucoup de nuances cachées.

Comprendre les fractales est la clé pour voir des informations cachées sur le marché. Mais c’est elle qui est l’un des facteurs clés du succès du spéculateur sur le marché et la clé d’un profit important et stable.

Le 14 octobre 2010, Benoit Mandelbrot est décédé - un homme qui, à bien des égards, a modifié notre compréhension des objets qui nous entourent et a enrichi notre langage avec le mot "fractal".

Comme vous le savez déjà, c'est grâce à Mandelbrot que nous savons que les fractales nous entourent partout. Certaines d'entre elles changent constamment, comme des nuages ​​ou des flammes en mouvement, tandis que d'autres, comme les côtes, les arbres ou nos systèmes vasculaires, préservent la structure acquise au cours de l'évolution. De plus, la gamme réelle d'échelles où les fractales sont observées va des distances entre les molécules dans les polymères à la distance entre les amas de galaxies dans l'univers. La collection la plus riche de ces objets est réunie dans le célèbre livre de Mandelbrot intitulé "Géométrie fractale de la nature".

Les classes les plus importantes de fractales naturelles sont les séries chronologiques chaotiques ou les observations ordonnées dans le temps des caractéristiques de divers processus naturels, sociaux et technologiques. Parmi celles-ci, on trouve à la fois des sources traditionnelles (géophysique, économique, médicale) et des connaissances relativement récentes (fluctuations quotidiennes du niveau de criminalité ou d'accidents de la route dans la région, modifications du nombre de visites de certains sites sur Internet, etc.). Ces séries sont généralement générées par des systèmes non linéaires complexes de nature très différente. Cependant, pour tous, le comportement est répété à différentes échelles. Leurs représentants les plus populaires sont les séries financières (principalement les cours des actions et les taux de change).

La structure auto-similaire de telles séries est connue depuis très longtemps. Dans l'un de ses articles, Mandelbrot écrivait que son intérêt pour les cours boursiers commençait par l'affirmation de l'une des bourses: "... les mouvements de prix de la plupart des instruments financiers sont similaires à l'extérieur, à différentes échelles de temps et de prix. L'observateur ne peut pas dire par changements hebdomadaires, quotidiens ou horaires. "

Mandelbrot, qui occupe une place de choix dans la science financière, a la gloire d'un "subverseur des fondements", provoquant chez les économistes une attitude visiblement ambiguë à son égard. Depuis l'avènement de la théorie financière moderne basée sur le concept de l'équilibre général, il en a été l'un des principaux critiques et a essayé de trouver une alternative acceptable à celle-ci jusqu'à la fin de sa vie. Cependant, c'est Mandelbrot qui a développé le système de concepts qui, avec les modifications appropriées, a permis non seulement de construire une prévision efficace, mais aussi d'offrir, apparemment, la seule corroboration empirique de la théorie classique de la finance pour le moment.

La principale caractéristique des structures fractales est la dimension fractale D, introduite par Felix Hausdorff en 1919. Pour les séries chronologiques, on utilise souvent l'indice de Hurst H, qui est associé à une dimension fractale par le rapport D = 2 - H et est un indicateur de la persistance (la capacité de maintenir une certaine tendance) d'une série chronologique.

Généralement, il existe trois régimes fondamentalement différents sur le marché: à H = 0,5, le comportement des prix est décrit par un modèle de marche aléatoire; lorsque H> 0,5, les prix sont en tendance (mouvement directionnel à la hausse ou à la baisse); à H <0,5, les prix sont plats ou fluctuent fréquemment dans une fourchette de prix assez étroite. Cependant, un calcul fiable de H (et de D) requiert trop de données, ce qui exclut la possibilité d'utiliser ces caractéristiques comme indicateurs permettant de déterminer la dynamique locale de la série chronologique.

Comme vous le savez, le modèle de base de la série chronologique financière est le modèle de marche aléatoire, obtenu pour la première fois par Luis Bachelier pour décrire l’observation des cours des actions à la Bourse de Paris. En repensant ce modèle, qui est parfois observé dans le comportement des prix, est apparue la notion de marché effectif dans laquelle le prix reflète pleinement toutes les informations disponibles.

Pour l'existence d'un tel marché, il suffit de supposer qu'il dispose d'un grand nombre d'agents rationnels pleinement informés qui répondent instantanément aux informations entrantes et ajustent les prix pour les mettre en équilibre. Tous les principaux résultats de la théorie classique de la finance (théorie du portefeuille, modèle CAPM, modèle de Black-Scholes et autres) ont été obtenus dans le cadre d'une telle approche. Actuellement, le concept de marché efficace continue de jouer un rôle dominant à la fois dans la théorie financière et dans les affaires financières.

Néanmoins, au début des années 60 du siècle dernier, des études empiriques ont montré que de fortes variations des prix du marché se produisent beaucoup plus souvent que le modèle de base d'un marché effectif prédit (le modèle de la marche aléatoire). Mandelbrot a été l'un des premiers à soumettre le concept de marché effectif à une critique globale.

En effet, s’il est correct de calculer la valeur de l’indicateur H pour tout stock, elle sera probablement différente de H = 0,5, ce qui correspond au modèle de marche aléatoire. Mandelbrot a trouvé toutes les généralisations possibles de ce modèle, qui peuvent être liées au comportement des prix réels. Il s’est avéré qu’il s’agit, d’une part, des processus qu’il a appelés la fuite de Levy et, d’autre part, des processus qu’il a appelés le mouvement brownien généralisé.

Pour décrire le comportement des prix, on utilise généralement le concept de marché fractal, qui est généralement considéré comme une alternative à un marché efficace. Le concept suppose que le marché a un large éventail d’agents avec des horizons d’investissement différents et, par conséquent, des préférences différentes. Ces horizons varient de quelques minutes pour les traders intrajournaliers à plusieurs années pour les grandes banques et les fonds d'investissement.

Une position stable sur un tel marché est un régime dans lequel "la rentabilité moyenne ne dépend pas de l'échelle, sauf pour la multiplication par le facteur d'échelle correspondant". En fait, nous parlons de toute une classe de modes dont chacun est déterminé par sa valeur de l'indicateur H. De plus, la valeur de H = 0,5 s'avère être l'une des nombreuses possibles et, par conséquent, égale à toute autre valeur. Ces considérations, ainsi que d’autres considérations, ont suscité de sérieux doutes quant à l’existence d’un véritable équilibre sur le marché boursier.

Regardez les tableaux de prix ci-dessous:

On peut voir que le prix fait des fluctuations constantes, formant ainsi une structure de nature répétitive.Il est visible sur tous les marchés, quelle que soit l'échelle de temps.

L'image montre des graphiques: BRN M30, BTCUSD H1, DAX30 D1, EURSGD M5, USDCHF H1, XAUUSD M15. Sans signatures et explications, presque personne ne peut les distinguer les unes des autres.

Ces graphiques ne sont pas exactement identiques, mais ils partagent des modèles communs. À un moment donné, le prix évolue dans une direction, change de direction et inverse partiellement le mouvement précédent, puis s'inverse à nouveau. Peu importe la période utilisée pour les graphiques - ils ont tous la même apparence (fluctuations constantes), tout comme les fractales.

Les fluctuations forment des vagues de marché. Qu'est-ce qu'une vague? Il s’agit d’une impulsion et d’une correction (mouvement-inversion-mouvement dans le sens opposé, rétablissant partiellement le précédent). De tels mouvements forment des vagues.

L'image montre ces mouvements qui forment les vagues. Plusieurs de ces ondes forment une onde importante de forme similaire (correction d'impulsion). Plusieurs petites vagues forment une vague de taille moyenne.

Les vagues de taille moyenne forment une grosse vague. C'est l'essence de la théorie fractale sur les marchés financiers.

Une série de telles vagues forme des mouvements directionnels sur le marché - les tendances. Ces tendances forment à leur tour des mouvements directionnels d'un ordre temporel plus ancien. Comme dans le cas des vagues, les petits mouvements forment un seul moyen, etc. Ceci distingue les tendances à court terme, à moyen terme et à long terme. C’est une compréhension classique de la nature fractale du marché.

Fractales Bill Williams

Comme je l'ai dit, les fractales de marché sont l'un des indicateurs du système commercial de Bill Williams. On pense que c'est lui qui a introduit ce nom pour la première fois dans le trading, mais comme vous le savez, ce n'est pas le cas. Lorsqu’il a négocié sur des fractales, en combinaison avec son indicateur Alligator, l’auteur a découvert des hauts ou des bas sur le marché. Il a également écrit que la détermination de la structure fractale du marché permet de comprendre le comportement des prix.

En général, la théorie des fractales de Williams à un moment donné a provoqué un débat houleux, principalement parce que l'auteur, comme beaucoup le pensent, a inséré dans sa théorie de nombreux termes scientifiques (fractales, attracteurs, etc.) et ne l'a pas fait correctement.

En général, les fractales de Williams apparaissent sur le marché assez souvent et sur presque toutes les périodes. Elles constituent en fait de simples extrêmes locaux sur un segment de 5 barres et ne correspondent pratiquement pas à la théorie mathématique des fractales. Les points TD de second ordre de Thomas Demark ont ​​exactement la même formation sur le graphique. Cependant, malgré toutes ces coïncidences, cette théorie est très populaire à ce jour.

L'analyse technique de Williams examine 4 formations fractales existantes:

  • vraie fractale à acheter;
  • fausse fractale à acheter;
  • vraie fractale à vendre;
  • fausse fractale à vendre.

Nous allons parler des vraies et des fausses fractales et comment les distinguer ci-dessous.

Indicateur de fractales dans le terminal de trading MetaTrader

Les indicateurs Bill Williams ne nécessitent pas d’installation et sont inclus dans l’ensemble standard d’indicateurs à la disposition de l’opérateur. Pour attacher l'indicateur fractal du terminal MetaTrader 4 au graphique, vous devez: dans le menu principal (ou dans la fenêtre "Navigateur") sélectionner l'élément de menu "Insertion" - "Indicateurs" - "Bill Williams" - "Fractales":

L'indicateur standard pour MT4 n'a pas d'autres paramètres que la couleur. Son utilisation avec une période fixe de "5" annule toutes les possibilités et avantages de cet outil. Mais pour la plate-forme MetaTrader, il existe de nombreux indicateurs personnalisés qui aideront à résoudre ce problème.

Le problème du mensonge et de la vérité des fractales

Lors des transactions utilisant des fractales, il existe une nuance importante: l'apparition sur la carte d'un grand nombre de signaux, dont certains sont faux. Pour les filtrer, Bill Williams a développé un autre indicateur appelé "Alligator", que l'on peut également trouver dans l'ensemble standard d'indicateurs de MT4.

Le problème des fausses fractales est la principale source d’erreurs, semblable aux estimations de la vérité de la dégradation du support / résistance. Quelle que soit la méthode employée, le principe général de détermination de la fiabilité est le suivant: tout écart par rapport à l’aspect classique doit être mis en doute. Comme dans toute l'analyse technique, une diminution du délai entraîne une augmentation du nombre de faux signaux et un fouillis sur le graphique. Des exemples de fractales instables sont présentés dans la figure ci-dessous.

Lorsque vous pratiquez des motifs de grande taille, il est préférable d’ouvrir des positions lors de la correction de la dernière impulsion de prix, qui se trouvent du côté gauche de la formation. À l'intérieur du motif, les corrections standard de Fibonacci fonctionnent de manière fiable à 38% (0,382), 50% (0,500) et 62% (0,618). Si vous «étendez» les niveaux par le biais de signaux indicateurs voisins, vous pouvez accéder aux ordres limites proches des niveaux clés.

De la même manière, vous pouvez protéger la transaction contre un effondrement inverse imprévisible en déplaçant progressivement le stoploss pour contrôler le maximum ou le minimum opposé de la dernière et de l'avant-dernière bougies. Lorsque la structure est en train de se former, la butée doit être au moins 5-10 points au dessus ou en dessous du dernier signal donné par l’indicateur Fractal. Ensuite, avec des reculs mineurs, nous restons sur le marché et, s’il ya un changement complet de tendance, la transaction se termine avec une perte minimale.

Il existe un autre moyen de déterminer que nous avons de fausses fractales - lorsqu'elles sont percées par une barre avec une longue ombre et un petit corps (barre pin). Plus son «nez» est long, plus le signal d'inversion est fort, ce qui signifie que le marché n'a pas réussi à modifier le niveau du dernier motif la première fois. Si la panne a eu lieu et que la prochaine bougie est fermée au-dessus du haut du nez (pour la vente) ou au-dessous du bas (à l'achat), vous pouvez alors ignorer le signal et attendre le prochain signal. Une situation similaire peut se produire dans les 3 à 5 barres, mais nous ne prêtons l’attention qu’à la barre qui a cassé l’indicateur Fractals.

L'utilisation pratique des fractales

Bill Williams a conseillé d'utiliser des fractales dans les stratégies basées sur la ventilation de niveaux de prix importants. Le mouvement des prix au-dessus ou au-dessous d'au moins un point du niveau de la fractale précédente, selon l'auteur de cet indicateur, parle déjà de dépasser ce niveau par le prix.

Franchir le niveau de la fractale précédente est appelé une percée des acheteurs au cas où le prix augmenterait au-dessus de la fractale précédente, dirigée vers le haut. Dans le cas contraire, lorsque le prix tombe au-dessous de la fractale précédente, orientée vers le bas, ils parlent d'une percée des vendeurs. Bill Williams a conseillé de considérer la percée des acheteurs ou des vendeurs comme un signe pour ouvrir une position.

Habituellement, les traders placent les ordres Stop en attente de plusieurs points au-dessus ou au-dessous de la fractale pour ouvrir une position en cas de dépassement de ce niveau. Dans ce cas, le stop loss est généralement défini au niveau de l'avant-dernière fractale opposée.

Dans une interprétation classique, Bill Williams conseille de filtrer les signaux de trading générés par des fractales à l'aide de l'indicateur Alligator. Donc, pour ouvrir une position d’achat, il est nécessaire qu’une fractale se situe au-dessus de la ligne rouge (les "dents d’alligator"). L'auteur de la stratégie a conseillé d'entrer sur le marché immédiatement après la dissolution de la fractale ou l'utilisation d'une commande BuyStop en attente. L'entrée sur le marché pour la vente se produit en cas de fracture d'une fractale en dessous de la ligne rouge.

Vous pouvez en savoir plus sur cette stratégie dans l'article sur le système Bill Williams Profitunity. Et nous analyserons les principaux moyens pratiques d’utiliser les fractales isolément de ce véhicule.

Trading Breakout Fractal

Cette méthode est classique, proposée par Bill Williams. Comme son nom l'indique, le commerce est par nature fragmenté et vise à poursuivre la tendance actuelle. L’entrée dans la transaction est effectuée par un ordre stop en attente pour la ventilation de la fractale la plus proche du prix. Un exemple que vous pouvez voir dans l'image ci-dessus.

Selon l'auteur lui-même, cette méthode de négociation générera de nombreuses fausses entrées. Bill suggère donc de filtrer les signaux à l'aide de l'indicateur Alligator. En principe, l'indicateur Alligator peut être remplacé par des moyennes mobiles ordinaires et peut également être utilisé comme filtre. Mais je répète qu’il n’a pas de sens de considérer les fractales et l’Alligator séparément des autres outils de Williams, aussi nous ne nous attarderons pas là-dessus.

Fractales en tant que niveaux de support / résistance

Si vous avez rencontré des niveaux de support / résistance au moins une fois, vous savez à quel point il est difficile de les construire, en particulier si vous êtes débutant. Et toute cette complexité provient de la subjectivité de cet outil. Lorsque nous construisons des niveaux, nous ne pouvons pas dire avec certitude si nous les avons construits correctement ou non. Bill Williams avec ses fractales nous donne un excellent outil pour trouver et construire des niveaux significatifs de soutien et de résistance.

Mettons un indicateur sur un graphique et analysons-le en termes de niveaux.

Ceci est un graphique USDCHF D1 avec une fractale classique. Oui, le programme est simplement rempli de ces flèches. Si une ligne horizontale est tracée à travers chaque extremum mis en surbrillance par l'indicateur, le graphique lui-même ne sera pas visible derrière ces lignes.

Augmentons le nombre de périodes et regardons le résultat:

Comme vous pouvez le constater, le graphique est devenu meilleur et il reste encore des extrêmes significatifs, permettant de tracer des niveaux tout à fait convenables pour le trading. Faites attention à la façon dont le prix "respecte" et atteint ces niveaux. Je suis sûr que dans le futur, lorsque le prix approchera, nous verrons à nouveau une réaction.

Fractales et lignes de tendance

Une autre bonne méthode pour appliquer l’indicateur fractals consiste à définir des points de référence pour tracer les courbes de tendance:

J'ai jeté l'indicateur sur le graphique, augmentant le nombre de barres dans les paramètres. Ensuite, il a tracé plusieurs lignes de tendance à travers des fractales. En effet, les lignes se sont révélées très intéressantes et le prix interagit avec elles. Naturellement, le commerçant devrait avoir des connaissances de base dans le domaine de l'analyse technique et de la création de lignes de tendance. Mais je suis sûr que cet indicateur sera une aide précieuse dans la pratique pour un spéculateur de devise débutant.

Déterminer une tendance à l'aide d'un indicateur

En utilisant des fractales, nous pouvons également déterminer la tendance dominante du marché. C'est très facile à faire. Si nous rappelons la définition d'une tendance, qui énonce qu'une tendance à la hausse est une séquence de hauts et de bas locaux croissants, et qu'une tendance à la baisse est une séquence d'extrêmes décroissants. Jetons notre indicateur sur le graphique et voyons que dans une tendance haussière, acheter des fractales se mettra à jour plus souvent que de vendre des fractales.

Définition du mouvement à plat

Si le prix ne peut pas dépasser la fractale précédente, cela peut servir de signal pour le début d'un mouvement plat. Pour confirmer le signal, il est nécessaire d'attendre la formation de la fractale opposée.

S'il ne pouvait pas non plus percer la fractale précédente, alors nous devrions nous attendre à un creux dans la plage située entre les fractales supérieure et inférieure, qui se terminerait après une percée au prix de l'un de ces niveaux.

Conclusion

L'indicateur Fractal et ses modifications construisent sur le graphique de nombreux points d'entrée potentiels pour tous les goûts, la plupart d'entre eux semblent assez fiables. En fait, cette technique d'analyse n'est pas si simple et sans ambiguïté. Il n'est pas recommandé aux débutants de l'utiliser comme seul facteur pour prendre une décision.

Les fractales ne peuvent pas être utilisées pour prédire les prix. Même Williams ne les considérait, du moins, que comme le troisième facteur de confirmation. Veuillez noter que l'indicateur standard Fractal, qui fait partie de l'ensemble de base des plates-formes de trading, n'a pas de paramètre. Choisissez donc les modifications pour lesquelles le nombre de barres de règlement change. Ainsi, vous pouvez syntoniser avec plus de précision un actif spécifique.

L'utilisation aura un résultat positif uniquement en combinaison avec d'autres indicateurs à des intervalles d'une heure ou plus. Les stratégies qui incluent l’indicateur Fractals doivent impérativement analyser plusieurs délais. Cependant, ne jetez pas cet indicateur.

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